Юра Зубарев

Не совсем так
Метод find возвращает курсор, а не сам документ из базы
Для возврата самого документа - используйте .findOne или find(query,options).fetch() - который вернет массив документов

В монго прекрасно работает выборка

Clients.find({ users_access: this.userId})
Tasks.find({access_users: this.userId}

)
Несмотря на то что access_users - массив ID пользователей, { access_users: id } позволяет выбрать те документы, где значение входит в массив

Возможно стоит добавить еще одно поле в каждый документ в Games, "а-ля" myTurn : 1
А в публикации сделать так

Meteor.publish('current-game', function(){ 
  let options = {limit: 1, fields: {myTurn: 0}}
  const myTurn = Games.findOne({users: this.userId, nextPlayer: this.userId, finished: {$exists: false}}))
  if (myTurn){
    options.fields.myTurn=1
 }
 return Games.find({users: this.userId, finished: {$exists: false}}, {limit: 1})
})

А на клиенте проверять свойство myTurn