Опубликую возможное рабочее решение, вдруг кому пригодится:
/* Делаем POST-запрос к стартовой странице админки, чтобы авторизоваться */
$site_url = 'http://site.ru/bitrix/admin'; //URL стартовой страницы админки Битрикса
$post_var = 'AUTH_FORM=Y&TYPE=AUTH&USER_LOGIN=admin&USER_PASSWORD=qwerty123&Login=&USER_REMEMBER=Y&captcha_sid=&captcha_word=bca897af2d782ba894633b851ak35ff3&sessid=bda897af5d782ba194643b851af353f3'; //эти данные собираются путём парсинга формы авторизации, для простоты поместил их в одну переменную
$ch = curl_init();
curl_setopt($ch, CURLOPT_COOKIEJAR, $_SERVER['DOCUMENT_ROOT'].'/cookie.txt'); //куда сохранять cookie
curl_setopt($ch, CURLOPT_COOKIEFILE, $_SERVER['DOCUMENT_ROOT'].'/cookie.txt'); //откуда берем cookie
curl_setopt($ch, CURLOPT_RETURNTRANSFER, true); // возвращаем веб-страницу
curl_setopt($ch, CURLOPT_FOLLOWLOCATION, true); // следуем за редиректами
curl_setopt($ch, CURLOPT_SSL_VERIFYPEER, false);
curl_setopt($ch, CURLOPT_SSL_VERIFYHOST, false);
curl_setopt($ch, CURLOPT_HEADER, false); //не выводим заголовки
curl_setopt($ch, CURLOPT_URL, $site_url); //URL сайта на Битриксе
curl_setopt($ch, CURLOPT_POST, true); //используем POST-запрос
curl_setopt($ch, CURLOPT_POSTFIELDS, $post_var); //строка с POST-переменными (значения присвоены выше)
$text = curl_exec($ch);
curl_close($ch);
/* Далее делаем GET-запрос к другим страницам админки, например, к монитору производительности */
curl_setopt($ch, CURLOPT_URL, 'http://site.ru/bitrix/admin/perfmon_panel.php');
curl_setopt($ch, CURLOPT_RETURNTRANSFER, true);
$text2 = curl_exec($ch);
//Выводим содержимое полученной страницы на экран, либо же делаем с этим что хотим
echo($text2);