По идее с самым примитивным решением должен справиться даже человек, который изучается js второй день в жизни (при условии, что он хотя бы на базовом уровне шарит в html/css).
<style>
.hide {
display: none;
}
</style>
<button class="first_button" onclick="document.getElementsByClassName('hide')[0].style.display = 'block'">Кнопка 1</button>
<button class="first_button">Кнопка 2</button>
<button class="second_button">Кнопка 3</button>
<button class="second_button">Кнопка 4</button>
<button class="hide">Кнопка "Ъ"</button>
Объясняю:
В стилях задаём классу hide свойство display.
На кнопку вешаем событие onclick. При клике выбираем первый элемент на странице с классом hide и меняем значение в его свойстве display.
Это вашу задачу, конечно, решит, но это костыль и говнокод.