xotkot

Так как это сложный запрос, то браузер отправляет предварительный запрос

непонятно, какой еще предварительный запрос ?
вам просто нужно к каждому своему запросу добавлять еще один заголовок с авторизацией

у вас через сам curl получается отправить запрос ?

curl -i 'https://api.partner.market.yandex.ru/v2/regions.json?name=Moskow' \
     -H 'Content-Type: application/json' \
     -H 'Authorization: OAuth oauth_token="__ТОКЕН__", oauth_client_id="__ИД__"'

п.с.
да и неплохо, когда спрашиваете, кидать ссылку на источник того откуда вы это всё берёте чтобы сэкономить время себе и другим

там всё довольно просто
парсите сайт translate.yandex.ru на вхождение SID у него будет значение состоящее из трёх элементов разделёных точками, так вот, каждый элемент нужно просто перевернуть, например:
имеем SID
49e65bdb.7fe1ede5.c76a5739
получаем ID
bdb56e94.5ede1ef7.9375a67c

в общем, проанализировав вывод консоли браузера (Меню > Веб-разработка > Консоль браузера ) пришел к выводу что "Защита от отслеживания" в firefox работает не на уровне вкладок, а на уровне всего браузера, то есть оно затрагивает и установленные расширения, НО сам механизм исключений действует только на уровне вкладок.
Получается что добавленный mail.yandex.ru(для логина еще passport.yandex.ru) в исключения никак не отражается на расширениях и для них они по прежнему блокируются, хотя для открытых во вкладках сайтов всё нормально.
Как выход необходимо разработчикам firefoxa расширить работу исключений на расширения либо либо сузить работу фильтра "защиты от отслеживания" только на вкладки.
Еще как вариант, можно обратится к разработчикам Disconnect.me которые формируют список блокировок с тем чтобы они исключили tns-counter.ru, так как походу из за него и происходит блокировка *.yandex.ru если судить по полученной информации с ихнего плагина
Пока как временное решение остаётся только полное отключение "Защиты от отслеживания"

Подскажите, в чём может быть проблема?

проблема в самом AdBlock Plus, время от времени у него случаются "припадки".
Помнится, когда пользовался им, тоже такое иногда проскакивало; в придачу частенько при первой загрузке браузера он вообще не срабатывал и все открытые страницы грузились с кучей рекламы, приходилось перезагружать браузер.
С некоторого времени перешёл на uBlock Origin, не жалею.