NoErrorsPlugin считается устаревшим и переименован в NoEmitOnErrorsPlugin: ссылка
p.s. я в курсе что вопрос старый, но чет не красиво оставлять без ответа, вдруг кому пригодится.

В метод нужно передать контекст класса

class NewClass {
      value = null;
      constructor() {
        this.elem = document.createElement("div");
        this.elem.innerHTML = "5";
        document.body.append(this.elem);
      }
      handler() {
        this.elem.addEventListener("click", this.setValue.bind(this));
      }
      viewValue() {
        //а так присваивается ¯\_(ツ)_/¯
        this.value = 0;
        this.handler();
        console.log(this.value);
      }
      setValue(e) {
        // присваиваем свойству значение, но оно не присваивается :(
        this.value = e.target.textContent;
      }
    }