Вы можете просто создать инстанс контроллера и вызвать метод с передачей параметра.

$controller = new My\Controller();
$request = Request::create('/', 'GET', ['name' => 'test']);
$this->assertEquals('test', $controller->sendVeryficationEmail($request));

Как мокнуть:

$request = \Mockery::mock(Request::class);
$request->shouldReceive('input')->once()->andReturn('VasyaPupkin');
$continer->instance(Request::class, $request);
$response = $this->call('post', '/user/registerrequest');
$this->assertEquals('VasyaPupkin', $response);

Где $container это ларавельный контейнер :)

А реквест, можно либо мокнуть, либо создать.

Request::create() ну либо мок, как больше нравится.

Но, если вы хотите остаться на своем методе, вы можно подменить Request в контейнере, тем же моком.