Максим Тимофеев

Сложно сказать. в Вашем ответе не понятна грань между ячейками.
Вероятно создать первичный ключ и другие индексы при необходимости.

Гугл дает возможность разместить не просто видео, а целый плейлист, соответственно, добавляя на ютубе видео в плейлист оно будет появляться и на сайте - это простой способ в два клика и копипаста.
Или же любая фантазия через api, ссылку на которое Вам уже дал Евгений

как, к примеру, браузере анализируют код html, какие алгоритмы испольщуют и т.д. не на регэкспах ведь они это делают.

Конечно же нет. И конечно же не на php это делают. Но это лирика, все что Вам надо - уметь читать и эта ссылка:
https://habrahabr.ru/post/174057/

ПС: Боюсь что разобравшись глубоко в теме, вы напишите все тот же SimpleHtmlDom. Громоздкий и тормозной. Если посмотреть на современные браузеры - увидите, что они кушают намного больше оперативки, чем замечательная SimpleHtmlDom.

Получить на сервере? Средствами php?
print_r($_SESSION);

Как реализовать скрипт который изменяет определенную информацию на каждой странице сайта

Для этого и есть js.

Перечитал вопрос еще раз - либо криво составлен, либо Вам нужен js, как вариант jquery.

www.wpbeginner.com/wp-tutorials/how-to-fix-error-t...

$first = [
    [0] => yabloko
    [1] => limon
];
$second = [
    [0] => Яблоко
    [1] => Лимон
];
$count = count($first);
for($i=0;$i<$count;$i++){
if(isset($first[$i]))
echo '<a href="/">'.$first[$i].'</a>';
if(isset($second[$i]))
echo '<a href="/">'.$second[$i].'</a>';
}

А чем поиск от гугл не устроил?
pektop.net/2013/09/sovety-po-nastrojke-i-optimizac...

Если Вы правили базовый экшен, то нечего удивляться, он перезаписался. А вот если Вы делали отдельный свой экшен, то стоит писать в техподдержку.

Вам нужна промежуточная таблица, в которой сохраняются не обработанные данные. И крон настроить, что бы периодически запускал скрипт, который лезет в нее берет пришедшие запросы, сравнивает и т.д. и записывает в основную базу.

select2.github.io/examples.html#data-ajax

<?php 
$i = 1;
foreach ($get_partners as $value): 
$class = "item"; 
if($i == 1)
$class = "item active"; 
?>
    <div class="<?=$class?>">
                <a href="<?=$value['partner_url']?>">
                  <img src="<?=$value['partner_image']?>" />
                </a>
    </div>
<?php if($i >= 5){break;} ?>
<?php endforeach; ?>

count($_FILES) у Вас всегда 1, а следовательно for ($i=0; $i<=count($_FILES); $i++) { должно срабатывать дважды. Так что все верно работает.
Если у ж так городить то
for ($i=0; $i<=count($_FILES); $i++)
меняйте на

for ($i=0; $i<count($_FILES['new-mini']['name']); $i++)

Судя по примеру комбинации должны быть случайны, могут повторятся и их должно быть 5.
Тогда так:

$array = array('слово1','слово2,''слово3','слово4');
for ($i = 1; $i <= 5; $i++) {
  shuffle($array);
  foreach($array as $one){
    echo $one;
    echo '&nbsp;';
  }
  echo '<br>';
}

Не похоже что дело в сервере. Я бы смотрел консоль, что бы понять что там. Если дадите ссылку будет проще.

Вот вам гайды:
www.yiiframework.com/wiki/748/building-a-rest-api-...
www.yiiframework.com/doc-2.0/guide-rest-quick-star...
Быстро, просто, гибко

Ответ согласно уровню детализации вопроса: "а хрен его знает"