1) Написать свой сервер на Express, а с React отправлять POST запрос на сервер через fetch или xhr. Но сервер сделать на другом порту (например React на 5000, a Express на 8080) и настроить proxy. Главное одновременно запустить сервер и приложение. Здесь concurrently отлично подходит, если делаете через npm.
2)Можно использовать любую, хоть MariaDB, но MongoDB тоже отлично подходит.