Как правильно использовать промисы на примере?

Попробуйте вот так:

function StartGame() {
  Extension.curNet()
    .then(r => {
      if (r.result == "Network")
        targetNet = "DidUHauNjoW6ERczNLe9gbCqGMUnsmp2iAc5j6HRMA2X";
      ///...
      if (currBattle == null) {
        return Extension.sendTransaction({
          target: targetNet,
          amount: $("#bet").val(),
          fee: "0.01"
        });
      }
    })
    .then(r => {
      if (r.result === undefined) {
        ///...
      }
    });
}

Как правильно указать url-адреса запросов fetch (на js) на githubpages?

А Вы точно не пытаетесь протестировать что нужно писать в fetch, внося изменения в локальную копию, но запрашивая *.json c github?

Судя по ошибке у Вас запрос с 127.0.0.1:* )