Был примерно такой же бэкграунд. Пошел на курсы по управлению проектами от одной IT-компании. Фигачил на курсах 24/7, взяли после них менеджером проектов.
На самом деле на hh.ru часто попадаются вакансии помощника PM, jun PM где готовы брать людей без опыта/ с минимальным опытом.
Ну либо можно оплатить какой-нибудь курс по управлению проектами, прочитать книг (идем на миф и смотрим по теме) и потом заходить с этого, что вот теория у меня вот + бэкграунд маркетолога-аналитика.
Ну либо, как посоветовали выше, начать еще откликаться на продакта.
Имхо опыт в программировании не нужен, для того, чтобы стать PM. PM не должен сидеть и писать код, а должен принимать правильные решения - это совсем про другие скилы уже.