Ольга Ветер

Посмотрите какую-нибудь книгу, мастер-класс или курс по vue, основательно, по порядку. Лучше что-то одно, но от и до. У вас есть системное непонимание подхода, это точечными вопросами нормально не решить.

Пока это выглядит так, что должно быть двумя разными компонентами... В который или через стор берется или пропсом передается нужное значение категории

https://element.eleme.io/ посмотрите, может подойдет

Правильно - без вашей сборки. Или / или. Не надо ужа и ежа скрещивать. Вот зачем вам jquery, например, если вы уже vue решили использовать?
Ну или если вам так уж горит оставить в основе свою сборку, ну подключите vue через script

<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/vue/dist/vue.js"></script>

но это сомнительное решение.