Василий Банников

0. У вас Response или Cookies = null
1. Что вы вообще хотите протестировать?
2. Зачем вы пытаетесь сделать Response.Cookies.Append
3. Гуглите asp net core integration tests
https://www.dotnetcurry.com/aspnet-core/1420/integ...
https://docs.microsoft.com/en-us/aspnet/core/test/...
https://www.syncfusion.com/blogs/post/how-to-integ...

Докер-конейнер находится в кубернетесе на удалённой машине.

Это всё осложняет. Обычно, на продакшене профилировать не стоит - лучше написать нагрузочные тесты и запускать в разработческом окружении
Как вариант для dotnet-trace

1. Базовый образ в докере должен быть SDK 3.0+
   
2. Устанавливаем dotnet-trace в докере

   RUN dotnet tool install --global dotnet-trace
   ENV PATH $PATH:/root/.dotnet/tools

   
   
   
3. После запуска приложения в контейнере (писать в консоль в докере):
   

   dotnet-trace collect --process-id $(pidof dotnet) --providers Microsoft-DotNETCore-SampleProfiler

   
   
   
4. Когда всё - жмём Ctrl+C, в папке с приложением будет файл trace.nettrace
   
   

https://stackoverflow.com/questions/59364119/net-c...

Если в проекте есть файлы aspx, asax, то это ASP.NET.
Если в .csproj файле имеется строка наподобие

<PackageReference Include="Microsoft.AspNetCore" />

, или <Project Sdk="Microsoft.NET.Sdk.Web"> с <TargetFramework>netcoreapp3.1</TargetFramework>, то это ASP .net Core

У вас не видно ограничений в переходе на .NET Core - откажитесь от IIS и классического ASP.NET в пользу Kestrel и asp net core - это будет полезнее в будущем.
Но если сильно нужно именно на IIS, то можете прочитать: https://docs.microsoft.com/en-us/aspnet/web-forms/...

Раньше были ASP.NET WebForms, но они морально устарели. Сейчас самый быстрый способ - через "ручное написание js и CSS". Сейчас 2019 год как никак и веб гораздо проще, чем раньше, есть всякие готовые наборы компонентов и hot-reload, что позволяет быстро смотреть на результат.
Ну и никто не запрещает использовать Adobe Dreamviewer