Михаил Кростелев

Во-первых нужно убрать декоратор у функции easy_game. Эта функция вызывается в register_next_step_handler, так что следующее сообщение будет как раз обрабатываться этой функцией.

Во-вторых. В этой же функции сначала отправляется страна, затем отправляется ответ. Должно быть не так.
Страна должна отправляться в функции easy(). Но там у тебя пользователю выводится сообщение с предложением запустить игру. Так что пропускай (пока что) предложение с запуском игры и сразу выводи название страны, потом обрабатывай ответ от пользователя в easy_game.

В-третьих. По текущей логике, ответив "Париж" на вопрос "Россия", выдаст правильный ответ. Ты должен где-то сохранять правильный ответ на поставленый вопрос, чтобы сравнить с вводом пользователя. Для этого в функцию easy_game() можно добавить еще один аргумент right_answer, и передавать в него правильный ответ через дополнительные параметры в register_next_step_handler

В-четвертых. Лучше использовать словарь, где ключом будет вопрос, а значением - ответ.

В-пятых. Столица Эмиратов - Абу-Даби.

Весь код приводить не буду, только некоторые моменты.

countries_easy = {
	"Россия": "Москва",
	"Франция": "Париж",
	"Арабские Эмираты": "Абу-Даби",
	}

...

@bot.message_handler(content_types=["text"])
def easy(message):
	...
	# рандомно выбираем пару ключ-значение из словаря.
	country, capital = random.choice(list(countries_easy.items()))
	msg = bot.send_message(messaga.chat.id, country)
	# Третьим параметром отправляем правильный ответ
	bot.register_next_step_handler(msg, easy_game, capital)


def easy_game(message, right_answer):
    if message.text == capital:
        bot.send_message(message.chat.id, "Правильный ответ!")
    else:
        bot.send_message(message.chat.id, "Неправильный ответ")

В общем, разобравшись в работе register_next_step_handler, можно будет уже полноценную логику собирать.

Все у вас работает.
Возможно вы тестировали работу только первой кнопки в меню СНИЛС. В ней ошибка. Сама кнопка содержит сообщение "Кто может получить СНИЛС?", а в функции SNILS проверка на строку "Кто может получить?".

Чтобы избежать таких ошибок, советую либо использовать константы, где будут содержаться значения кнопок, либо использовать Inline клавиатуру. Она даст больше маневров для построения многоуровнего меню.

а вы хоть смотрели что попадает в nickname после выполнения nickname = message.text.lower()?
там по идее всегда будет "/username_search"

После команды предлагайте пользователю отдельно ввести свой никнейм.
Воспользуйтесь bot.register_next_step_handler()

Для того, чтобы бот делал рассылку всем пользователям, вам нужно где-то хранить список всех пользователей. Вносить туда новых, когда кто-то новый начинает взаимодействовать с ботом.

Когда пользователь пишет боту лично, то он находится в чате с самим ботом, где участников 2 - пользователь и бот. Поэтому bot.get_chat_members_count(message.chat.id) выдаст всегда значение 2.
Если бот будет админом в какой-либо группе, тогда уже выведется количество участников этой группы.

Вот теперь вы берете и проходите в цикле 2 раза, отправляя в этот чат сообщение.

Вам же надо где-то хранить все id пользователей, с кем бот взаимодействует. Когда будет отлавливаться нужная команда, проходить в цикле по всем id и отправлять им нужный текст сообщения. Можно из этого списка во время отправки исключить текущего пользователя, чтобы самому не получить сообщение.

Ошибка в параметрах, которые передаете в register_next_step_handler

@bot.message_handler(regexp="Редактировать Доску Почета")
def red_doska(message):
    if message.chat.id in ADMINS:
        msg = bot.send_message(message.chat.id, text="Жду новое значение")
        bot.register_next_step_handler(msg, redact)

Если вы пользуетесь библиотекой PyTelegramBotApi (telebot), то вам надо гуглить register_next_step_handler
Если aiogram - гуглите FSM

На этом ресурсе очень много вопросов и ответов по использованию и первого и второго