Кирилл Туровников

Необходимо у формы указать обработчик и метод передачи данных, выше в вашем коде, обработчик - файл email.php в корневом каталоге сайта:

<form id="contact-form" action="/email.php" metod="post">

Данные отправлять используя ajax, делаю проверку на заполненность полей, для этого необходимы библиотека jquery и сам файл скрипта, например script.js лежащий в папке js в корне сайта
Подключаем их в head:

<script src="https://code.jquery.com/jquery-2.1.4.min.js"></script>
<script src="/js/script.js"></script>

Ниже сам скрипт script.js:

$(document).ready(function(){
    $('#contact-form').submit(function(){
            var subject = $(this).find("#subject :selected").text();
            var name = $(this).find("#name").val();
            var email = $(this).find("#email").val();
            var message = $(this).find("#message").val();

            if(!!name && !!email && !!message){
                $.ajax({
                    type: "POST",
                    url: "/email.php",
                    data: {"subject": subject, "name": name,"email": email, "message": message},
                    cache: false,
                    success: function(){
                        /* действия при успешной отправке */
                    }
                })
            }
        return false;
    });
});

И последнее сам обработчик email.php, который отправляет письма, в последней строке указывается адрес получателя и заголовок письма:

<? header("Content-type: text/html; charset=utf-8");

	$text = "<b>subject</b>: ".$_POST['subject']."<br>";
	$text .= "<b>name</b>: ".$_POST['name']."<br>" ;
	$text .= "<b>email</b>: ".$_POST['email']."<br>";
	$text .= "<b>message</b>: ".$_POST['message']."<br>";
	$headers .= "MIME-Version: 1.0\r\n";
	$headers .= "Content-Type: text/html; charset=UTF-8\r\n";
	mail('mail@mail.ru', 'Заголовок письма', $text, $headers);

?>