Кратко: забыл запустить сервер.
Подробнее:
1) Необходимо запустить на плате сервер server.begin() чтобы плата могла обрабатывать запросы которые на неё приходят, а не просто быть устройством в сети.
2) Также я неправильно обрабатывал запросы [req == "Что-нибудь"], ведь структура HTTP запроса сложнее, чем просто передаваемый текст, например - GET /Что-нибудь HTTP1.1, поэтому условия не выполнялись.