Вам предстоит узнать еще много нового, в рамках одного ответа всё не рассказать.
Vue это фронтенд, штука, отвечающая за интерактивность интерфейса, поэтому в её документации практически нет ничего о работе с сервером. Но сама работа с сервером есть, строится она на основе запросов на сервер. Для вас актуален AJAX (это тоже фронтенд, но не часть vue).
AJAX позволяет запросить что-то у сервера без перезагрузки страницы. Теперь мы подбираемся к PHP - запрос должен обработать серверный язык, и лучше бы вам использовать фреймворк, а не чистый PHP.
В общем виде - сервер разбирает параметры запроса и на их основе отстраивает запрос в базу данных (SQL->DML). Здесь начинается mysql.
В ответе на sql-запрос содержится срез данных, которые запросил пользователь. Ответ преобразуется сначала в массивы или объекты выбранного вами серверного языка, а потом в JSON (или xml, или другой формат данных), после чего отдается в обработчик запроса AJAX.
Чтобы дать рабочий пример, нужно скинуть вам целый проект. Ознакамливайтесь с упомянутыми мной технологиями отдельно, вам придется потратить на это пару вечеров)
