в шапку добавь wp_head() если не помогает, то в wp-config добавь define ('WPCF7_LOAD_JS', true или false );

или вообще можно принудительно прописать в шапку:

<script type='text/javascript' src='/wp-content/plugins/contact-form-7/includes/js/jquery.form.min.js?ver=твоя версия скрипта'></script>
<script type='text/javascript'>
/* <![CDATA[ */
var _wpcf7 = {"loaderUrl":"\/wp-content\/plugins\/contact-form-7\/images\/ajax-loader.gif","sending":"Sending ..."};
/* ]]> */
</script>
<script type='text/javascript' src='/wp-content/plugins/contact-form-7/includes/js/scripts.js?ver=твоя версия скрипта'></script>

Это не мой ответ, но у меня это сработало. Нашла ответ этого святого человека здесь

Я так поняла, что подобная проблема возникает, когда сам пытаешься написать шаблон. Мысль пришла, когда проверила работу contact form 7 на обычной теме из предложенных WP