Дмитрий

Я спрашиваю как изменить

Владимир Майструк, Вам указали на ошибки.
Ваши действия:
1) Доработать js код, чтобы от отправлял данные. Читайте, смотрите в инете примеры. В обработчике формы для этого шага выводите просто дамп массива $_POST. Как только это заработаете - переходите к исправлению обработчика формы.
2) Читать, смотреть в официальной документации php, в инете примеры как обработать данные формы на сервере. Добиваетесь, чтобы на сервере инициализировались данные из формы.
3) Читать смотреть в официальной документации php, смотреть примеры в инете как работать с mysql. Добиться того, чтобы данные записывались в базу.
Помимо этого читайте, смотрите в инете как обрабатываются ошибки при работе js, php и mysql.
Всё. Элементарный скрипт отправки формы Вы сможете написать уже к вечеру.

p.s. Если всё-таки не будет получаться написать самостоятельно, то в этом случае показываете свой код, пишите ошибки, которые возникают и описываете действия которые Вы делали для устранения ошибок. Тогда у всех админов, модераторов, кураторов и обычных пользователей текут слёзы умиления и все, перебивая друг друга, кинуться Вам помогать)))

У Вас не очень корректный json, или два раза вставили одно и то же в комментарий.

$json = '[{"id":"398",.....}]';
var_dump(json_decode($json, true));

Результат

array (size=2)
  0 => 
    array (size=6)
      'id' =>  '398' (length=3)
      'name' => 'цупывапывап' (length=22)
      'description' => 'Дочь свергнутого короля Семи Королевств из династии Таргариенов Эйриса Безумного. ' (length=153)
      'reason_murder' => 'Неприязнь' (length=18)
      'killer' => 'Враждебный воин' (length=29)
      'weapon' => 'Меч' (length=6)
  1 => 
    array (size=6)
      'id' => '398' (length=3)
      'name' => 'цупывапывап' (length=22)
      'description' => 'Дочь свергнутого короля Семи Королевств из династии Таргариенов Эйриса Безумного. ' (length=153)
      'reason_murder' => 'Неприязнь' (length=18)
      'killer' => 'Враждебный воин' (length=29)
      'weapon' => 'Меч' (length=6)

В общем ситуация такая...
Как в самом виджете прикрутить ajax запрос я не знаю.
Но можно сделать так:
в GridView добавляем 'contentOptions', задаём параметры ajax запроса и отправляем на сервер.

[
    'label' => 'Дата начала подписки',
    'value' => function ($model, $key, $value) {
        return  \kartik\date\DatePicker::widget([
            'name' => 'date_subscription',
            'model' => $model,
            'value' => date('d-m-Y',$model->created_at),
            'type' => DatePicker::TYPE_INPUT,
            'pluginOptions' => [
                'format' => 'yyyy-mm-dd',
                'autoclose' => true,
            ],
        ]);
    },
    'contentOptions' => [
        'onchange' => '
            var Id = $(this).parent().attr("data-key");
            var uDate = $(this).children("input").val();
            console.log(Id + " - " + uDate);
            $.ajax({
               url: "'. Url::to('user/default/ajax-request') .'",
               type: "POST",
               data:{id: Id, date: uDate},
               success: function(data){
                  console.log(data)
               }
            })
        '
    ],
    'format' => 'raw',
],

В контролере создаём действие, которое будет обновлять данные для определённого пользователя.

public function actionAjaxRequest()
{
    if(Yii::$app->request->isAjax){
        $newDate = Yii::$app->request->post('date');
        $uId = Yii::$app->request->post('id');
        if(($model = Users::findOne(['id' => $uId])) != null){
            $model->created_at = strtotime($newDate);
            if(!$model->update(false,['created_at'])){
                return 'Данные не обновились.';
            }
            else{
                return 'Данные успешно обновились.';
            }
        }
        else{
            return 'Пользователь не найден.';
        }
    }
    return false;
}

Это упрощённый, но рабочий вариант. Вам необходимо поменять все переменные, пути, модели на свои, чтобы потом не говорили, что что-то там у Вас не работает. Всё работает, прежде чем писать ответ я проверил.

Добрый вечер.
Можно попытаться решить при помощи валидации
['id_no', 'default', 'value' => null]

id можно получить из сессии, cookies, или если пользователь перешёл в личный кабинет по ссылке, то из $_GET параметров. В любом случае надо увидеть полностью код.
В форме можно сделать скрытое поле, где подставляется этот самый id и в sql запрос добавить условие через where

$query = "UPDATE $table SET psevdonim='".$_POST["test_psevdonim"]."', familiya='".$_POST["test_familiya"]."' WHERE  `id` = " . $_POST['id'] . "";

Ну и конечно же так подставлять данные в запрос нельзя!
Используйте подготавливаемые запросы.