Максим Ворожцов, остановитесь на том варианте, как Вы делали, то есть id. Должно работать. Сейчас посмотрел у себя. В одной форме два select2 и id я задаю именно через option
Messi, вот опять же, Вы не предоставили весь код, который отвечает у Вас за подключение виджета. И как можно догадаться что и где у Вас подключено?
А по поводу виджета от kartik могу сказать следующее. Он использует стандартный select2, дописывает функционал и оформляет это виждетом для yii2. В Вашем случае можно вообще не заморачиваться на установке виджета, тянуть кучу файлов. Можно просто скачать пару файлов и подключить так же - в Select2Asset.