Там есть метод change. Или relocate. Нужно на нем, передавать значение аяксом на сервер и там сохранять.
Для хранения древовидных иерархий существует 2 метода. Один это то что ты написал где есть parent_id а другой называется nested sets. Погугли по этому. По мне он на много лучше хотя нужно больше времени что бы с ним разобраться. В nested set у тебя будут 2 поля left и right.
