ваш таймер работает через рекурсивный 
setTimeout. Каждую секунду вызывается функция 
updateExamTimer, которая в конце выполнения планирует отложенный вызов себя же через 1 секунду.
Особенность функции 
setTimeout заключается в том, что при вызове она возвращает 
timerId, который если успеть передать в 
clearTimeout, то таймер(на выполнение функции 
updateExamTimer) отменится.
Следовательно, вам нужно изменить код так, чтоб при отключении интернета вызывался 
clearTimeout и в него передавался 
timerId, который вам нужно куда-то сохранять каждый раз при вызове 
setTimeout
После включения интернета, вам потребуется снова вызвать 
setTimeout('updateExamTimer()', 1000);, чтоб запустить таймер
ПодробнейНО так же у вас фигурирует загадочная переменная 
EXAM_TIME_LEFT, которая неизвестно откуда берется. Если это константа и она просто объявлена выше по коду, описанный мной вариант, скорее всего, будет работать, если она прилетает с сервера(и при обновлении страницы она меняется), то ничего работать не будет и отключать таймер придется на сервере в том числе.