Как вариант через Selenium открыть страницу и сохранить ее

Если у тебя есть v-if="filteredProducts", сделай v-else, который выведет "Ничего не найдено"

Такого функционала в самом телеграмме у ботов нет. Тут только один выход: требовать скрин "Как у других реализовано" скрин/видео, но я уверен, что это делается на стороне сервера

Это не связано с базой данных, у вас проблема в том, что вы не реализовали состояние FSM, прочтите про него

Используй https://docs.telegram-mini-apps.com/packages/teleg...