Сергей Примиренков

Элементы games должны иметь уникальное свойство, которое бы позволяло их идентифицировать, id. Если такого нет - срочно добавляйте. Сохранять в localStorage следует эти id. Так что добавим в стейт соответствующий массив:

state: {
  wishlistIds: [],
  ...

И укажем его в настройках persistedstate (да, можно сохранять не весь стейт, а только некоторые элементы):

plugins: [
  createPersistedState({
    paths: [ 'wishlistIds' ],
  }),
  ...

Массив wishlist - из стейта переносим в геттеры:

getters: {
  wishlist: state => state.games.filter(n => state.wishlistIds.includes(n.id)),
  ...

Добавление/удаление, соответственно:

mutations: {
  addGame(state, gameId) {
    if (!state.wishlistIds.includes(gameId)) {
      state.wishlistIds.push(gameId);
    }
  },
  removeGame(state, gameId) {
    const index = state.wishlistIds.indexOf(gameId);
    if (index !== -1) {
      state.wishlistIds.splice(index, 1);
    }
  },
  ...

В компонент, отображающий элементы games, добавим вычисляемое свойство liked, которое будет указывать, находится ли текущий элемент в wishlist и управлять добавлением/удалением:

computed: {
  liked: {
    get() {
      return this.$store.state.wishlistIds.includes(this.game.id);
    },
    set(val) {
      this.$store.commit(val ? 'addGame' : 'removeGame', this.game.id);
    },
  },
  ...

<button @click="liked = !liked" :class="{ liked }" class="like"></button>

Ну а свойство isLiked и метод putLike - это мусор, их следует вырезать.

Первое, и самое важное - не привязывайтесь к событиям DOM! Используйте обработчики событий Vue. Зачем с реактивными фреймворками типа Vue, React, Angular работать в стиле jQuery?

Уберите все из mounted(), кроме вызова dispatch.
Сделайте нормальную обработку событий.
В противном случае вся реактивность убивается.

И классы тоже надо выводить через computed свойства (на крайний случай через data), а не вставлять императивным методом.

<template>
   ...
   <button id="s" class="toggle-search" v-on:click="clear"></button>
   ...
</template>


export default {
  // ...,
  methods: {
    clear() {
      this.search = '';
    },
  },
  // ...,
};

Еще в store надо завести флаг статуса (не готов, готов, загружается, загружено...), чтобы соответствующим образом отображать всякие лоадеры, спиннеры и пр.. Думайте о пользователе сразу!

И советую подробно ознакомиться с документацией по Vue - она на понятном русском языке!

Теряете контекст в обработчике click (Home.vue), так что search там у вас - вовсе не свойство компонента. Сделайте функцию стрелочной (это чтобы вот прям сейчас заработало, а реально - весь этот шлак в mounted надо переписывать, откройте документацию vue, и разберитесь, как назначать обработчики событий, добавлять/удалять классы и т.д.).