Можно сделать ваш input вот таким:
<input type="text" value="<?php echo $row['answer']; ?>" name="answer[]">
Это будет работать. В $_POST['answer'] в итоге будет лежать массив выбранных ответов.
Можно ещё и так сделать:
<input type="text" value="<?php echo $row['answer']; ?>" name="answer[<?php echo $row['question_number']; ?>][]">
В $_POST['answer'] тоже будет массив, ключами которого будут номера вопросов, а значениями - массивы с ответами.
Идея понятная, сможете дальше сами, или нужна ещё помощь?