sawuer

Может стоит попробовать указать метод: "method: 'GET'"?

fetch('https://api.weather.yandex.ru/v1/forecast?lang=ru'+ '&lat=' + this.props.city.lat + '&lon=' + this.props.city.lon, {
    method: 'GET',
    headers: (new Headers({
        'X-Yandex-API-Key': API_KEY
    }))
}).then(resp => resp.json()).then(res => {
    console.log(res)
});

Ибо я вижу у Вас на последнем скриншоте указано, что запрос происходит методом OPTIONS, а должен — методом GET