rolecs

Верную правку предложил pantsarny, проблема была в опции:
curl_setopt($curl, CURLOPT_PUT, true);
Работающая опция:
curl_setopt($curl, CURLOPT_CUSTOMREQUEST, 'PUT');
Работающий код:

$COUNTER_VAR = '';
$TOKEN_VAR = '';
$url = "https://api-metrika.yandex.net/management/v1/counter/$COUNTER_VAR";
// $data = '{"counter":{"mirrors2":[{"site":"test.example.com"},{"site":"test2.example.com"},{"site":"test3.example.com"},{"site":"test4.example.com"},{"site":"test5.example.com"}]}}'; // так тоже работает
$data = [
    'counter' => [
        'mirrors2' => [
            ['site' => 'test.example.com'],
            ['site' => 'test2.example.com'],
            ['site' => 'test3.example.com'],
            ['site' => 'test4.example.com'],
            ['site' => 'test5.example.com'],
        ],
    ],
];
$data = json_encode($data);
$headers = array(
   //"Host: api-metrika.yandex.net", // оказалось необязательно
   "Authorization: OAuth $TOKEN_VAR",
   "Content-Type: application/x-yametrika+json",
   //"Content-Length: " . strlen($data), // оказалось необязательно
);
$curl = curl_init($url);
// curl_setopt($curl, CURLOPT_HTTP_VERSION, CURL_HTTP_VERSION_1_1); // раскомментировать в случае ошибки "HTTP/2 stream 0 was not closed cleanly: PROTOCOL_ERROR (err 1)"
curl_setopt($curl, CURLOPT_URL, $url);
// curl_setopt($curl, CURLOPT_PUT, true); // неработающая опция
curl_setopt($curl, CURLOPT_CUSTOMREQUEST, 'PUT'); // работающая опция
curl_setopt($curl, CURLOPT_RETURNTRANSFER, true);
curl_setopt($curl, CURLOPT_HTTPHEADER, $headers);
curl_setopt($curl, CURLOPT_POSTFIELDS, $data);

//for debug only!
//curl_setopt($curl, CURLOPT_SSL_VERIFYHOST, false); // если будет ругаться на сертификат раскомментировать
//curl_setopt($curl, CURLOPT_SSL_VERIFYPEER, false); // если будет ругаться на сертификат раскомментировать

$resp = curl_exec($curl);

if ($resp === false) {
    echo curl_error($curl);
} else {
    var_dump($resp);
}

curl_close($curl);

весь день мозги дрочил, но сделал https://jsfiddle.net/g93vno87/8/