Антон Спирин

Если вы сами не знаете зачем вам в store эти данные, то они там скорей всего не нужны.

Разделение кода

Вы видите в списке скриптов скрипт build? И я нет.
Спрашивайте того кто это писал и не дописал.

...Разбираюсь с небольшой задачкой на React.js.
...Я не силен в React.

По-хорошему так не делается.

Я не знаю чей код вы использовали, но для использования контекста уже давно не надо использовать PropTypes.
Не передаете initialState.
В вызове connect вы местами передаете сначала mapDispatchToProps, затем mapStateToProps.

Чтобы не сперли надо решать вопросы безопасности, а хранить можно во всех перечисленных хранилищах.

1. Почему вы решили, что токен нельзя хранить в localStorage? Храните его либо там, либо в cookie и проверяйте наличие при инициализации вашего приложения.

2. Если пользователь присылает невалидный токен или делает запрос по защищенному пути без токена, возвращайте с сервера код 401 и обрабатывайте ошибку на клиенте.
Идеальным вариантом будет использовать один обработчик для всех запросов.
На примере axios:

axios.interceptors.response.use(
  res => res,
  error => {
    if (
      error.response &&
      error.response.status === 401 &&
      error.response.data.message === 'Unauthorized' &&
      isSignedIn
    ) {
      store.dispatch(logout());
    }

    return Promise.reject(error);
  },
);

3. Достаточно при инициализации при наличии токена, например сделать запрос за данными о пользователе. И в зависимости от ответа отрисовывать нужную версию приложения.