При одном клике форма отправляется несколько раз?

Вы все неправильно поняли =)
У меня там троеточия, чтобы не писать ваш код.

submitHandler: function (_form) {
     _form.submit(function (e) {
        e.preventDefault();
        
        var form = $(this);
        if (form.valid()) {
          $('#submit').attr('disabled')
          $.ajax({
            type: "POST",
            url: "server.php",
            data: form.serialize()
          }).done(function () {
            form.find('#submit').attr('disabled', 'disabled');
            $.fancybox.open({
              src: '#form-modal',
              type: 'inline',
              afterClose: function () {
                form.trigger("reset");
              }
            });
          });
        }
        return false;
      }

Тут можно все переписать без вызова submit. Так как это лишний код, который ничего не делает.
Можно просто оставить его содержимое. Так же сомневаюсь в необходимости вызова valid