Cначала задаются переменные:
$login = 'login';
$pass = 'pass';
$email = 'v@c.ru';
Если не вошел - работа с куки и установки сессии:
if($_GET['logout'] == true) {
    setcookie("loggedIn", "false", time() - 3600);
    setcookie("PHPSESSID", "", time() - 3600);
    setcookie("login", "", time() - 3600);
    header('Location: ' . $_SERVER['PHP_SELF']);
    session_destroy();
}
Проверка, совпадают ли введенные данные:
if($_POST['submit']) {
    $data['login'] = $_POST['login'] == $login ? $_POST['login'] : false;
    $data['pass'] = $_POST['password'] == $pass ? $_POST['password'] : false;
    $data['email'] = $_POST['email'] == $email ? $_POST['email'] : false;
    foreach($data as $key => $value) {
            If(!$value) $error[] = $key;
    }
Если человек вошел - объявляется в куки. Запись, что он онлайн и ID сессии. Иначе - он не вошел.
if(empty($error)) {
            setcookie('loggedIn', true);
            setcookie('PHPSESSID', session_id());
            setcookie('login', $data['login']);
            session_start();
            header('Location: ' . $_SERVER['PHP_SELF']);
    }
    else {
            print_r($error);
    }
И далее, если пользователь вошел, кнопка Loginout, а если не вошел - форма входа.
if($_COOKIE['loggedIn']) : ?>
<p>Hello, <?= $_COOKIE['login']; ?></p>
<a href="<?= $_SERVER['PHP_SELF']; ?>?logout=true">logout</a>
<?PHP else : ?>
<form action="<?= $_SERVER['PHP_SELF']; ?>" method="post">
    <label>login</label><input type="text" name="login" required><br>
    <label>password</label><input type="password" name="password" required><br>
    <label>email</label><input type="email" name="email" required><br>
    <input type="submit" name="submit" value="login">