Потому-что inter.author - класс а user - строковое поле, которое не может содержать класс.
Каково назначение поля user - вы не указали. Поэтому думайте сами, как преобразовать первое во второе.
Если приложенный код работает, то пишите каждый раз после получения респонза.
А вообще первый раз вижу конструкцию responce = await bot.wait_for('button_click'), подозреваю это что-то устаревшее. Обычно такое пишется на классах в библиотеке есть пример крестиков-ноликов, камень-ножницы-бумага реализуется еще проще.
