proffard

Ошибка связана не с роутами, а с тем, что в тестах не подключен модуль, который знает названия именных роутов.

Попробуйте в ваш тест добавить строчку
include Rails.application.routes.url_helpers

если поможет, то решите проблему глобально, добавив ее в spec_helper.rb

Смотрите логи, которые лежат в папке проекта log/production.log или log/thinXXXX.log

Oбычно можно по фразе "Completed 500" найти места, когда ошибки были залогированы.
Выше этой фразы будет бэктрейс ошибки, начинающийся с названия класса ошибки, которая так легко гуглится на stackoverflow :)

Попробуйте такой код:

<%= render 'banner' unless current_page.in? [root_path, regulation_path, test_path, device_path] %>

Проверьте такой случай:
возможно пользователи нажимают по ссылке server.com/synchronization/orders.json парвой кнопкой мыши и выбирают "открыть в новой вкладке"

Если руби > 2.0, то лучше использовать refine.
здесь неплохо расписано, как это сделать

попробуйте через
rvmsudo rails server -d -e production -p 80
(без nginx)