Почему не работает асинхронность?

Dyikot, Да, выглядит хорошо)

Почему не работает асинхронность?

Dyikot,

private async Task DownloadDataAndAddToTable()
{

tablesForSavingData = await Serialization.DownloadTable(filePath);...

Почему не работает асинхронность?

Dyikot, это всё равно сразу же возвращает нас в поток UI. Имеет смысл что то типа

private async Task DownloadDataAndAddToTable()
        {

            tablesForSavingData = await Serialization.DownloadTable(filePath);

            if (tablesForSavingData.Count != 0)
            {
                int i = 1;
                foreach (var table in tablesForSavingData)
                {
                    tablesForViewData.Add(
                         table.ToDataGridView("table" + (i++).ToString()));

                }
            }
            else tablesForViewData.Add(defaultTable);

            Invoke(() =>
            {
                foreach (var table in tablesForViewData)
                {
                    Controls.Add(table);
                    MakeTableActive(table);
                }
            });
        }

Ну и DownloadTable тоже должно быть Task

Почему не работает асинхронность?

Я не увидел Invoke в асинхронном варианте. То, что касается пользовательского интерфейса, должно происходить в потоке UI. То есть сначала загружаем в отдельном потоке данные из файла, создаём новые элементы интерфейса пользователя и потом через Invoke добавляем созданные элементы в Controls в потоке UI. Примерно так. А первый вариант с Thread фактически сразу из нового потока вызывает Invoke и управление сразу передаётся в основной поток приложения (UI). С таким же успехом можно было бы сразу всё выполнить безо всяких Thread и Task.
Что касается последнего вопроса, то лучше использовать асинхронность, это гораздо экономичнее с точки зрения системных ресурсов.