Антон

1)required="" - некорректный синтаксис

<!-- HTML: --> <input class="datepicker-here" name="data" required></input>
 <!-- XHTML: --> <input class="datepicker-here" name="data" required="required"></input>

2) Судя по классу 'datepicker-here' вы используете Air datepicker, у которого есть обработчик события onSelect. В него и вставьте отправку запроса.

Вот так должно работать:

<ol id="cheapestsites">
    <li v-for="site in cheapsites[0].thecheapestsites">
        {{site}}
    </li>
</ol>

Желательно и reject из промиса тоже отлавливать.