neol

Ваш "медленный" скрипт блокирует сессию и не дает прочитать из нее прогресс. Нужно либо постоянно открывать/закрывать сессию, либо хранить данные где-то еще.

Session data is usually stored after your script terminated without the need to call session_write_close(), but as session data is locked to prevent concurrent writes only one script may operate on a session at any time.

php.net//manual/ru/function.session-write-close.php

Каким образом я смог авторизоваться в google под чужим аккаунтом? На работе мы выходим в интернет через прокси

Скорее всего криво настроено кеширование на прокси сервере.