Попробуйте запустить систему в безопасном режиме, чтобы лишний софт не грузился из автозапуска, возможно какая-то утилита производителя вашего Bluetooth адаптера мешает. А Qt тут ни при чём, скорее всего, если этот код на Linux работает.
Самый лучший способ контролировать уровень батареи - интегрировать ее заряд в кулонах. Так в принципе все "взрослые" контроллеры настоящих ноутбучных батарей и поступают.
Теория процесса управления зарядом - это целое искусство. Так что лучше всего будет взять обычную батарейку от ноутбука, найти даташит на ее контроллер и реализовать общение с ним. Обычно там протокол SPI.
Включение платы можно реализовать при помощи двух контактах на плате, которые появились еще с B rev.2. Эти контакты обозначены как p6, и находятся около питания платы
Если к этим контактам припаять кнопку, то она будет в рабочем состоянии платы работать как reset, а в выключенном - как включение
На Raspberry pi поднимайте некий сервис который будет слушать обращения с вашего сайта. Это может быть как веб так и что душе угодно. При обращение к сервису дергайте соответствующую ногу gpio. К ноге подключите пульт от машинки.
