Как формулировать запросы REST API для YII2?

Haotik, роутинг внутри yii (urlManager)

Как суммировать значения из getElementById и getElementsByClassName?

по моему вы перепутали name и id судя по описанию

Как формулировать запросы REST API для YII2?

Haotik, а можно посмотреть на роутер и контроллер?

Как формулировать запросы REST API для YII2?

попробуй user/1

Как сделать резиновую верстку?

semenvachekin, может bootstrap4 хватит?

Что добавить для отображение меню каталога?

.main-header__catalog {
max-width: 100%;
background: #fff;
width: 100%;
z-index: 99;
}

тогда попробуйте так

Как заставить нормально работать динамически подключенный js код?

Roweb, они выполняются асинхронно, Кто первый загрузился тот и выполнился. В случае со статическим подключением браузер будет останавливаться чтобы исполнить. Добавив async можно добиться такого же эфекта (Внешние скрипты, порядок исполнения)