В компоненте category вы забыли подписаться на событие toggled, генерируемое дочерними category (его следует пробрасывать в родителя). И вместо isActive (про него вы при создании дочерних category тоже почему-то забыли) наверное стоит передавать id элемента - а то непонятно, кого и на каком уровне вложенности надо считать активным.
Ну и в целом - зачем два компонента для построения вложенного меню? Как-то сложновато получается. Достаточно и одного.
Например.
UPD. А вообще нет, один компонент, проброс активного id вниз и события вверх - дрянь идея. Оставляем два компонента, пусть экземпляры списков имеют доступ к корню через provide / inject.
Вот так.
