Как сделать так, чтобы в битриксзакрыть задачу мог только постановщик задачи?

Если у Вас коробочная версия, то можно создать дополнительное поле для задачи (свойство типа Да/Нет), отметить его
Добавить обработчик перед изменением задачи и проверять значение этого поля, выбросить исключение, если условие не подходит.

global $APPLICATION;
$APPLICATION->ThrowException('Задачу может закрыть только инициатор');
return false;