Михаил

Dymok всё правильно написал.

В jsfiddle пользовательский скрипт подключается в HEAD секции, а это значит, что Вы ищите кнопки до наступления события DOMContentLoaded. Ваших кнопок попросто ещё не существует.

В codepen пользовательские скрипты подключаются перед закрытием , а значит Ваши кнопки уже существует и поэтому всё работает

Использовать БД не хочу

ахахах)))
Перечитал внимательно ваше бестолковое нагромождение слов - 200 слов и ни одной запятой - думаю, вам идеально подойдет страничка в одноклассниках!
Там есть ВСЁ, что вы перечислили. И даже авторизация!
Я сам не мог в это поверить пока не решился зарегистрироваться в одноклассниках поэтому надо выбрать одноклассники не выбрать тогда однолкассник выбрать вк и потому что вот так. Ну как вам без запятых?)))

Как уже сказали выше, у вас идет обращение к чекбоксу, а не к label + при обращении label.text исчезнет и чекбокс. Вот один из не лучших вариантов решения

$('#favourites_flag').change(function()
{
       var checkbox = $(this),
           label = $('#favourites_flag_label'),
           tyu = $('#tyu');
    if (!checkbox.is(':checked')) {
        label.get(0).lastChild.nodeValue = 'В избранное';
        tyu.css({'background':'green'});
    } else {
        label.get(0).lastChild.nodeValue = 'В избранном';
        tyu.css({'background':'gold'});
    };
});