Исаользуйте API сервиса -
https://tech.yandex.ru/speller/doc/dg/concepts/api...
Получаете ответ методом checkText и парсите данные в нужное окно
https://tech.yandex.ru/speller/doc/dg/reference/ch...
Все остальное реализуется средствами js. Ну и заюзайте ajax для отправки запроса
