$get_count = "SELECT COUNT(*) FROM visits WHERE date='$date'";
if ($get_count > 0 ) {
$mysql_insert = "INSERT INTO visits(num_doc,date,comments,id_add_pac,username_doc,username_pac,specialty_doc) VALUES
('{$num_doc}','{$date}','{$comments}','{$id_add}','{$username}','{$username_pac}','{$specialty}')";
} else {
echo 'Выберите другое время';
}
Посмотрите что выводит $get_count, отсюда и танцуйте. Он должен выводить количество строк, в которых присутствует $date. Так же попробуйте также $get_count = mysql_fetch_array("SELECT....)