А это зависит от того, что вообще делалось.
Если вы отправляли почту через ajax, нужно честно сказать, что при отправке почты произошла ошибка. Пусть это будет не alert, но заметный div с сообщением нужен.
А если это было просто обновление списка комментариев к записи в фоновом режиме, то лучше всего промолчать, либо просто перезагрузить страницу без ajax.
Самое общее правило, какое я могу сформулировать: если ошибка произошла в ответ на явное действие пользователя, нужно сообщить, иначе — если это неважно для общего функционала сайта, желательно обработать по-тихому. Но вообще важен контекст. Нет общего способа сообщения о любых ошибках в любых ситуациях.
