Если говорить о юнит тестах:
Контроллеры - тестим, что отдаются верные статус-коды и дергаются нужные сервисы. Можно проверять ответ, можно проверять валидацию параметров
Сервисы - удобнее тестить когда используется паттерн с репозиторием, а в сервисе зашивается лишь бизнес-логика без обращения к БД.
Просто тестируем бизнес-логику зашитую в сервисе, имплементация репозитория/ORM мокается.
Если говорить о e2e тестах:
Можно использовать supertest. Как и в остальных языках/фреймворках - создается тестовая база, забивается различными необходимыми для теста данными (с помощью фабрик, фикстур). В тестах идет прямое обращение к эндпоинтам и сравнивается результат, будто бы мы тестили это вручную в swagger'е
