Аналоги Dropbox с Public Folder?

minus.com/

Как записать видео-поток (например, вебинар)?

На счет свернутого не уверен, а вот с фонового вполне возможно. Скачайте триал-версию и попробуйте.

Необходим ли антивирус на устройстве с ОС Android?

Так для проверки флешки достаточно иметь на своем компьютере антивирус. От вирусов притянутых с чьей-то винды вашему телефону не холодно, не жарко.