Роман Сарваров

Никак.
Inertia - это не API, а монолит. Когда ты отправляешь форму (или делаешь inertia запрос через $inertia.visit, $inertia.get, $inertia.post и т.д.), то Inertia ожидает в ответ InertiaResponse или RedirectResponse, а массив данных.
Т.е. в inertia в контроллере ты только редиректишь назад через back(), либо возвращаешь корректный ответ

return inertia()->render('Some/Component', ['some' => 'data'])

Синхронизации формы с ответом сервера (как мы привыкли делать во vue) при использования Inertia хелпера form нету - если в форме ошибка и запись не создалась, то inertia это сама поймет и должна откатить форму через form.reset().
Если нужно с сервера что-то вернуть, то нужно использовать axios или fetch.

1.Сделать во Vuex в модуле auth свойство состояния loading.
После загрузки события ставить в false.
Меню не выводить пока $store.state.loading === true.
2. Еще можно сделать, что если в куках есть какой-то токен то выводить меню авторизованного юзера.
Если вывелось такое меню и токен окажется недействительным то сбрасывает меню или делает редирект на страницу авторизации.

mapActions и mapGetters (а ещё часто бывает mapState и mapMutations) - это методы Vuex, которые позволяют обращаться к функционалу хранилища vuex в контексте текущего компонента. По сути только делает код более красивым.

Например, в вашем примере есть loadData в mapActions. В таком случае можно обратиться просто this.loadData();

Если без этого, то пришлось бы писать такой длинный и некрасивый код: this.$store.dispatch('loadData');

Читайте документацию по Vuex.

Если вы не преследуете цель обмануть робота, чтобы повысить свои показатели в поисковых системах - нет.