Как запустить два параллельных процесса бота: бесконечную функцию, проверяющую имеются ли обновления, и обработчики событий и сообщений?

Привет!
Тебе для этой задачи не нужен мультипроцессинг или многопоточность.

В аiogram есть штука FSM. Если я правильно понял, то ты хочешь чтобы обработчики включались только в нужный момент. Почитай про FSM поподробнее

Тебе надо импортировать
aiogram.fsm.state.StatesGroup, State
aiogram.fsm.context.FSMContext

Создаёшь class
class Task(StatesGroup)
status1=State()
status2=State()

Создаешь обработчик router.message(Task.status1)
async def name(message, state)
По итогу из класса message вытаскиваешь text и все супер. В самом конце очищаешь FSM командой state.clear()

Этот обработчик будет включаться только если у тебя ранее была прописана команда state.set_state(Task.status1)