Какой фреймворк для верстки можно использовать по такой разметке (картинка должна быть знакома всем)?

kvitalbox, чистым css, а медиа-запросами адаптив сделайте. Это намного быстрее поиска какого-то фреймворка и его изучения.

Авто очиска кэша css, js в WordPress?

furcifer, как вариант - менять имя файла стилей. css файлы автоматом хешируются браузером.

Как сделать адаптивную шапку?

в media screen and (max-width: 768px) пиши все, что должно произойти при такой ширине. Если вернешь с этой ширины на большую оно отменит эти изменения.