Николай Максимович

Разобрался. Может кому будет интересно. Вот решение:
Данные код поместить в function.php

add_action('acf/save_post', 'my_acf_save_post');
function my_acf_save_post() {

	// Получаем ID рубрики
	$post_category = get_the_category();
	$category_term_id = $post_category[0]->term_id;

	// Получаем значение ACF-поля фона рубрики
	$category_background_image = get_field( 'category_background_image', 'category_' . $category_term_id, false );
	
        // Получаем ключ поля
	$field_image = acf_get_field( 'post_category_background_image' );
	$field_key_image = $field_image['key'];
        
        // Обновляем значение поля
	update_field( $field_key_image, $category_background_image );
	
}