Опции для виджета с поддержкой AJAX задаются следующим образом:

<script type="text/javascript">
    var nocaptchaOptions = {
        publicKey: 'PUBLIC_KEY'
    };
</script>
<script src="https://api-nocaptcha.mail.ru/nocaptcha.js" type="text/javascript"></script>

В отличие от старого виджета, в URL не надо передавать публичный ключ (src=".../nocaptcha.js?public_key=7823fa..."). Публичный ключ берется из структуры nocaptchaOptions, которая должна быть создана раньше, чем подключается nocaptcha.js.