А в чем именно проблема? Добавляете поле с вводом ключа, при подтверждении ввода делаете fetch на сервер для проверки валидности ключа, если все норм - сохраняете ключ в storage. По необходимости, при каждом открытии попапа/другой страницы - проверяем валидность токена из storage.
Минусы - ключ может быть будет храниться в открытом виде на компьютере пользователя
Можно попробовать синхронизировать папку с Гугл диском и в эту папку залить расширение. Расширение хранить распакованным, и через инструменты разработчика залить его в браузер
три точки - история - очистить историю - вкладка "дополнительные" - галочка на "изображения и другие файлы..." и временной диапазон выбрать. Можно выбрать за все время
Рекомендую почитать документацию.
У самого гугла есть примеры: https://developer.chrome.com/docs/extensions/mv3/s...
Документация вполне не плохо написана
И я еще бывает выкачивал плагины со схожим результатом, который мне нужен, разбирал их и смотрел, как они устроены.
Найти галочку в настройках консоли "Preserve log" и убрать ее. А если она уже убрана, то у меня вариантов нет. Каждая перезагрузка - каждый раз обновляется окно консоли